논리식을 수학식으로 표현하면 장점을 얻을 수 있다.
- 같은 논리식은 똑같이 표현된다.
- 깔끔함이 느껴져서 기분이 좋다.
기본 연산
$$NOT(X) = 1-X$$
NOT 연산을 위와 같이 만들 수 있다.
$$AND(X,Y) = XY$$
AND 연산도 만들 수 있다.
$$OR(X,Y)$$
$$= NOT(AND(NOT(X),NOT(Y)))$$
$$= 1-(1-X)(1-Y) = X+Y-XY$$
OR 연산도 만들 수 있다.
$$XOR(X,Y)$$
$$= OR(AND(NOT(X),Y),AND(X,NOT(Y))$$
$$= (1-X)Y+X(1-Y)-XY(1-X)(1-Y)$$
$$= X+Y-3XY+XXYY$$
$$= X+Y-3XY+XY = X+Y-2XY$$
XOR 연산도 만들 수 있다.
증명에 사용
$$X^n = X$$
숫자가 0 또는 1이기 때문에 이런 특성을 이용할 수 있다. 이 특성을 이용하면 여러가지 법칙들(OR(A,NOT(A))가 늘 1인 것 따위)을 쉽게 증명할 수 있다. 왜냐하면 같은 논리식은 늘 같은 식으로 표현돼서, 참인 식이라면 늘 증명되는 방향으로 식이 정리되기 때문이다.
$$OR(A,NOT(A))$$
$$= A+1-A+A(1-A)$$
$$= 1+A-AA$$
$$= 1+A-A$$
$$= 1$$
$$AND(A,NOT(A))$$
$$= A(1-A)$$
$$= A-AA$$
$$= A-A$$
$$= 0$$
$$OR(AB,AC)$$
$$= AB+AC-ABC$$
$$= A(B+C-BC)$$
$$= AND(A,OR(B,C))$$
더 복잡한 식에서도 이러한 단순한 전개를 사용할 수 있다는 점에서 수식으로 논리식을 표현하는 일은 의미있다.